解決25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2 |Microsoft數學求解器

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4+x\right)^{2}。

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

計算 25 乘上 16+8x+x^{2} 時使用乘法分配律。

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

計算 7 乘上 5-x 時使用乘法分配律。

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

計算 35-7x 乘上 5+x 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

將 400 與 175 相加可以得到 575。

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

合併 25x^{2} 和 -7x^{2} 以取得 18x^{2}。

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

從兩邊減去 295。

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

從 575 減去 295 會得到 280。

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

新增 45x^{2} 至兩側。

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

合併 18x^{2} 和 45x^{2} 以取得 63x^{2}。

$$280+200x+63x^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$63x^{2}+200x+280=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 63 代入 a，將 200 代入 b，以及將 280 代入 c。

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

對 200 平方。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

-4 乘上 63。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

-252 乘上 280。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

將 40000 加到 -70560。

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

取 -30560 的平方根。

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

2 乘上 63。

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}。 將 -200 加到 4i\sqrt{1910}。

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

-200+4i\sqrt{1910} 除以 126。

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}。 從 -200 減去 4i\sqrt{1910}。

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

-200-4i\sqrt{1910} 除以 126。

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展開 \left(4+x\right)^{2}。

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

計算 25 乘上 16+8x+x^{2} 時使用乘法分配律。

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

計算 7 乘上 5-x 時使用乘法分配律。

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

計算 35-7x 乘上 5+x 時使用乘法分配律並合併同類項。

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

將 400 與 175 相加可以得到 575。

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

合併 25x^{2} 和 -7x^{2} 以取得 18x^{2}。

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

新增 45x^{2} 至兩側。

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

合併 18x^{2} 和 45x^{2} 以取得 63x^{2}。

$$575+200x+63x^{2}=295$$

從兩邊減去 575。

$$200x+63x^{2}=295-575$$

從 295 減去 575 會得到 -280。

$$200x+63x^{2}=-280$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$63x^{2}+200x=-280$$

將兩邊同時除以 63。

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

除以 63 可以取消乘以 63 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

透過找出與消去 7，對分式 \frac{-280}{63} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

將 \frac{200}{63} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{100}{63}。接著，將 \frac{100}{63} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

\frac{100}{63} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

將 -\frac{40}{9} 與 \frac{10000}{3969} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

因數分解 x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

化簡。

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

從方程式兩邊減去 \frac{100}{63}。

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$