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$24 \exponential{(x)}{2} + 16 x y + 8 = 84 $
解 x
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解 y
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圖表

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24x^{2}+16yx+8=84
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
24x^{2}+16yx+8-84=84-84
從方程式兩邊減去 84。
24x^{2}+16yx+8-84=0
從 84 減去本身會剩下 0。
24x^{2}+16yx-76=0
從 8 減去 84。
x=\frac{-16y±\sqrt{\left(16y\right)^{2}-4\times 24\left(-76\right)}}{2\times 24}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 24 代入 a,將 16y 代入 b,以及將 -76 代入 c。
x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}-4\times 24\left(-76\right)}}{2\times 24}
對 16y 平方。
x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}-96\left(-76\right)}}{2\times 24}
-4 乘上 24。
x=\frac{-16y±\sqrt{256y^{2}+7296}}{2\times 24}
-96 乘上 -76。
x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{2\times 24}
取 256y^{2}+7296 的平方根。
x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48}
2 乘上 24。
x=\frac{8\sqrt{4y^{2}+114}-16y}{48}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48}。 將 -16y 加到 8\sqrt{4y^{2}+114}。
x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}
-16y+8\sqrt{4y^{2}+114} 除以 48。
x=\frac{-8\sqrt{4y^{2}+114}-16y}{48}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-16y±8\sqrt{4y^{2}+114}}{48}。 從 -16y 減去 8\sqrt{4y^{2}+114}。
x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}
-16y-8\sqrt{4y^{2}+114} 除以 48。
x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3} x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}
現已成功解出方程式。
24x^{2}+16yx+8=84
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
24x^{2}+16yx+8-8=84-8
從方程式兩邊減去 8。
24x^{2}+16yx=84-8
從 8 減去本身會剩下 0。
24x^{2}+16yx=76
從 84 減去 8。
\frac{24x^{2}+16yx}{24}=\frac{76}{24}
將兩邊同時除以 24。
x^{2}+\frac{16y}{24}x=\frac{76}{24}
除以 24 可以取消乘以 24 造成的效果。
x^{2}+\frac{2y}{3}x=\frac{76}{24}
16y 除以 24。
x^{2}+\frac{2y}{3}x=\frac{19}{6}
透過找出與消去 4,對分式 \frac{76}{24} 約分至最低項。
x^{2}+\frac{2y}{3}x+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(\frac{y}{3}\right)^{2}
將 \frac{2y}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{y}{3}。接著,將 \frac{y}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}=\frac{19}{6}+\frac{y^{2}}{9}
對 \frac{y}{3} 平方。
x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}=\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}
將 \frac{19}{6} 加到 \frac{y^{2}}{9}。
\left(x+\frac{y}{3}\right)^{2}=\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}
因數分解 x^{2}+\frac{2y}{3}x+\frac{y^{2}}{9}。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x+\frac{y}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{y^{2}}{9}+\frac{19}{6}}
取方程式兩邊的平方根。
x+\frac{y}{3}=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6} x+\frac{y}{3}=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}
化簡。
x=\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3} x=-\frac{\sqrt{4y^{2}+114}}{6}-\frac{y}{3}
從方程式兩邊減去 \frac{y}{3}。
16xy+8=84-24x^{2}
從兩邊減去 24x^{2}。
16xy=84-24x^{2}-8
從兩邊減去 8。
16xy=76-24x^{2}
從 84 減去 8 會得到 76。
\frac{16xy}{16x}=\frac{76-24x^{2}}{16x}
將兩邊同時除以 16x。
y=\frac{76-24x^{2}}{16x}
除以 16x 可以取消乘以 16x 造成的效果。
y=-\frac{3x}{2}+\frac{19}{4x}
76-24x^{2} 除以 16x。