解決23x^2+11x+9=0 |Microsoft數學求解器

$$23 x ^ { 2 } + 11 x + 9 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}\approx -0.239130435+0.578031991i$$

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}\approx -0.239130435-0.578031991i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$23x^{2}+11x+9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 23 代入 a，將 11 代入 b，以及將 9 代入 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

對 11 平方。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 23\times 9}}{2\times 23}$$

-4 乘上 23。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-92\times 9}}{2\times 23}$$

-92 乘上 9。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-828}}{2\times 23}$$

將 121 加到 -828。

$$x=\frac{-11±\sqrt{-707}}{2\times 23}$$

取 -707 的平方根。

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{2\times 23}$$

2 乘上 23。

$$x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}。 將 -11 加到 i\sqrt{707}。

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-11±\sqrt{707}i}{46}。 從 -11 減去 i\sqrt{707}。

$$x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$23x^{2}+11x+9=0$$

從方程式兩邊減去 9。

$$23x^{2}+11x+9-9=-9$$

從 9 減去本身會剩下 0。

$$23x^{2}+11x=-9$$

將兩邊同時除以 23。

$$\frac{23x^{2}+11x}{23}=-\frac{9}{23}$$

除以 23 可以取消乘以 23 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{11}{23}x=-\frac{9}{23}$$

將 \frac{11}{23} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{11}{46}。接著，將 \frac{11}{46} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{9}{23}+\left(\frac{11}{46}\right)^{2}$$

\frac{11}{46} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{9}{23}+\frac{121}{2116}$$

將 -\frac{9}{23} 與 \frac{121}{2116} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}=-\frac{707}{2116}$$

因數分解 x^{2}+\frac{11}{23}x+\frac{121}{2116}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}=-\frac{707}{2116}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{707}{2116}}$$

化簡。

$$x+\frac{11}{46}=\frac{\sqrt{707}i}{46} x+\frac{11}{46}=-\frac{\sqrt{707}i}{46}$$

從方程式兩邊減去 \frac{11}{46}。

$$x=\frac{-11+\sqrt{707}i}{46} x=\frac{-\sqrt{707}i-11}{46}$$