解決21x^2+11x-2=0 |Microsoft數學求解器

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 21x^{2}+ax+bx-2。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -42 的所有此類整數組合。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

計算每個組合的總和。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

該解的總和為 11。

$$a=-3 b=14$$

將 21x^{2}+11x-2 重寫為 \left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)。

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 2。

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 7x-1。

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 7x-1=0 並 3x+2=0。

$$x=\frac{1}{7} x=-\frac{2}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$21x^{2}+11x-2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 21 代入 a，將 11 代入 b，以及將 -2 代入 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

對 11 平方。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

-4 乘上 21。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

-84 乘上 -2。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

將 121 加到 168。

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

取 289 的平方根。

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

2 乘上 21。

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-11±17}{42}。 將 -11 加到 17。

$$x=\frac{6}{42}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{6}{42} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{7}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-11±17}{42}。 從 -11 減去 17。

$$x=-\frac{28}{42}$$

透過找出與消去 14，對分式 \frac{-28}{42} 約分至最低項。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{7} x=-\frac{2}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$21x^{2}+11x-2=0$$

將 2 加到方程式的兩邊。

$$21x^{2}+11x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

從 -2 減去本身會剩下 0。

$$21x^{2}+11x=-\left(-2\right)$$

從 0 減去 -2。

$$21x^{2}+11x=2$$

將兩邊同時除以 21。

$$\frac{21x^{2}+11x}{21}=\frac{2}{21}$$

除以 21 可以取消乘以 21 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{11}{21}x=\frac{2}{21}$$

將 \frac{11}{21} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{11}{42}。接著，將 \frac{11}{42} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{11}{21}x+\left(\frac{11}{42}\right)^{2}=\frac{2}{21}+\left(\frac{11}{42}\right)^{2}$$

\frac{11}{42} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{11}{21}x+\frac{121}{1764}=\frac{2}{21}+\frac{121}{1764}$$

將 \frac{2}{21} 與 \frac{121}{1764} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{11}{21}x+\frac{121}{1764}=\frac{289}{1764}$$

因數分解 x^{2}+\frac{11}{21}x+\frac{121}{1764}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{42}\right)^{2}=\frac{289}{1764}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1764}}$$

化簡。

$$x+\frac{11}{42}=\frac{17}{42} x+\frac{11}{42}=-\frac{17}{42}$$

從方程式兩邊減去 \frac{11}{42}。

$$x=\frac{1}{7} x=-\frac{2}{3}$$