解決20x^2-28x-1=0 |Microsoft數學求解器

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

解 x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$20x^{2}-28x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 20 代入 a，將 -28 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

對 -28 平方。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4 乘上 20。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

將 784 加到 80。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

取 864 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

-28 的相反數是 28。

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

2 乘上 20。

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}。 將 28 加到 12\sqrt{6}。

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

28+12\sqrt{6} 除以 40。

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}。 從 28 減去 12\sqrt{6}。

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

28-12\sqrt{6} 除以 40。

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$20x^{2}-28x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$20x^{2}-28x=1$$

將兩邊同時除以 20。

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

除以 20 可以取消乘以 20 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-28}{20} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

將 -\frac{7}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{7}{10}。接著，將 -\frac{7}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

-\frac{7}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

將 \frac{1}{20} 與 \frac{49}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

因數分解 x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

化簡。

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

將 \frac{7}{10} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$