解決20x^2-x-1=0 |Microsoft數學求解器

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 20x^{2}+ax+bx-1。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -20 的所有此類整數組合。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

計算每個組合的總和。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

該解的總和為 -1。

$$a=-5 b=4$$

將 20x^{2}-x-1 重寫為 \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)。

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

因式分解 20x^{2}-5x 中的 5x。

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

使用分配律來因式分解常用項 4x-1。

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x-1=0 並 5x+1=0。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$20x^{2}-x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 20 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-4 乘上 20。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

-80 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

將 1 加到 80。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

取 81 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

2 乘上 20。

$$x=\frac{1±9}{40}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±9}{40}。 將 1 加到 9。

$$x=\frac{10}{40}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{10}{40} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±9}{40}。 從 1 減去 9。

$$x=-\frac{8}{40}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{-8}{40} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$20x^{2}-x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$20x^{2}-x=1$$

將兩邊同時除以 20。

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

除以 20 可以取消乘以 20 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

將 -\frac{1}{20} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{40}。接著，將 -\frac{1}{40} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

-\frac{1}{40} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

將 \frac{1}{20} 與 \frac{1}{1600} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

將 \frac{1}{40} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$