解決2y^2+1/5-y=3(1/5-y)^2-2 |Microsoft數學求解器

$$2 y ^ { 2 } + \frac { 1 } { 5 } - y = 3 ( \frac { 1 } { 5 } - y ) ^ { 2 } - 2$$

解 y

$$y = \frac{\sqrt{209} + 1}{10} \approx 1.545683229$$

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}\approx -1.345683229$$

使用二次方程式公式的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

計算 3 乘上 \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2} 時使用乘法分配律。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

從 \frac{3}{25} 減去 2 會得到 -\frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

從兩邊減去 -\frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y-\left(-\frac{47}{25}\right)=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

-\frac{47}{25} 的相反數是 \frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}=-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

新增 \frac{6}{5}y 至兩側。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{47}{25}+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

將 \frac{1}{5} 與 \frac{47}{25} 相加可以得到 \frac{52}{25}。

$$2y^{2}+\frac{52}{25}-y+\frac{6}{5}y=3y^{2}$$

合併 -y 和 \frac{6}{5}y 以取得 \frac{1}{5}y。

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=3y^{2}$$

從兩邊減去 3y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=0$$

合併 2y^{2} 和 -3y^{2} 以取得 -y^{2}。

$$-y^{2}+\frac{52}{25}+\frac{1}{5}y=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y+\frac{52}{25}=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 \frac{1}{5} 代入 b，以及將 \frac{52}{25} 代入 c。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

\frac{1}{5} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}-4\left(-1\right)\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1}{25}+4\times \frac{52}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 \frac{52}{25}。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{1+208}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

將 \frac{1}{25} 與 \frac{208}{25} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\sqrt{\frac{209}{25}}}{2\left(-1\right)}$$

取 \frac{209}{25} 的平方根。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}。 將 -\frac{1}{5} 加到 \frac{\sqrt{209}}{5}。

$$y=\frac{\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

\frac{-1+\sqrt{209}}{5} 除以 -2。

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-\frac{1}{5}±\frac{\sqrt{209}}{5}}{-2}。 從 -\frac{1}{5} 減去 \frac{\sqrt{209}}{5}。

$$y=\frac{-\sqrt{209}-1}{-2\times 5}$$

\frac{-1-\sqrt{209}}{5} 除以 -2。

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

現已成功解出方程式。

$$y=\frac{1-\sqrt{209}}{10} y=\frac{\sqrt{209}+1}{10}$$

配方法的步驟

使用二項式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展開 \left(\frac{1}{5}-y\right)^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=3\left(\frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2}\right)-2$$

計算 3 乘上 \frac{1}{25}-\frac{2}{5}y+y^{2} 時使用乘法分配律。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=\frac{3}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}-2$$

從 \frac{3}{25} 減去 2 會得到 -\frac{47}{25}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y=-\frac{47}{25}-\frac{6}{5}y+3y^{2}$$

新增 \frac{6}{5}y 至兩側。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}-y+\frac{6}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

合併 -y 和 \frac{6}{5}y 以取得 \frac{1}{5}y。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}+3y^{2}$$

從兩邊減去 3y^{2}。

$$2y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y-3y^{2}=-\frac{47}{25}$$

合併 2y^{2} 和 -3y^{2} 以取得 -y^{2}。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}$$

從兩邊減去 \frac{1}{5}。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{47}{25}-\frac{1}{5}$$

從 -\frac{47}{25} 減去 \frac{1}{5} 會得到 -\frac{52}{25}。

$$-y^{2}+\frac{1}{5}y=-\frac{52}{25}$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-y^{2}+\frac{1}{5}y}{-1}=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{\frac{1}{5}}{-1}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

\frac{1}{5} 除以 -1。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=-\frac{\frac{52}{25}}{-1}$$

-\frac{52}{25} 除以 -1。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y=\frac{52}{25}$$

將 -\frac{1}{5} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{10}。接著，將 -\frac{1}{10} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{52}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

-\frac{1}{10} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{52}{25}+\frac{1}{100}$$

將 \frac{52}{25} 與 \frac{1}{100} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}=\frac{209}{100}$$

因數分解 y^{2}-\frac{1}{5}y+\frac{1}{100}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{209}{100}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{209}{100}}$$

化簡。

$$y-\frac{1}{10}=\frac{\sqrt{209}}{10} y-\frac{1}{10}=-\frac{\sqrt{209}}{10}$$

將 \frac{1}{10} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{\sqrt{209}+1}{10} y=\frac{1-\sqrt{209}}{10}$$