解決2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

解 x、y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

使用代換的步驟

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-3y+10=0$$

從方程式兩邊減去 10。

$$2x-3y=-10$$

將 3y 加到方程式的兩邊。

$$2x=3y-10$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 3y-10。

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

在另一個方程式 5x-y+4=0 中以 \frac{3y}{2}-5 代入 x在方程式。

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

5 乘上 \frac{3y}{2}-5。

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

將 \frac{15y}{2} 加到 -y。

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

將 -25 加到 4。

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

將 21 加到方程式的兩邊。

$$\frac{13}{2}y=21$$

對方程式的兩邊同時除以 \frac{13}{2}，與兩邊同時乘上該分式的倒數一樣。

$$y=\frac{42}{13}$$

在 x=\frac{3}{2}y-5 中以 \frac{42}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

\frac{3}{2} 乘上 \frac{42}{13} 的算法: 將分子和分子相乘以及將分母和分母相乘。然後找到最簡分式。

$$x=\frac{63}{13}-5$$

將 -5 加到 \frac{63}{13}。

$$x=-\frac{2}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

使用矩陣的步驟

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

使用消去法的步驟

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

讓 2x 和 5x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 5，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

化簡。

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 10x-15y+50=0 減去 10x-2y+8=0。

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

將 10x 加到 -10x。 10x 和 -10x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$-15y+2y+50-8=0$$

將 -15y 加到 2y。

$$-13y+50-8=0$$

將 50 加到 -8。

$$-13y+42=0$$

從方程式兩邊減去 42。

$$-13y=-42$$

將兩邊同時除以 -13。

$$y=\frac{42}{13}$$

在 5x-y+4=0 中以 \frac{42}{13} 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

將 -\frac{42}{13} 加到 4。

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{13}。

$$5x=-\frac{10}{13}$$

將兩邊同時除以 5。

$$x=-\frac{2}{13}$$

現已成功解出系統。

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$