Solve 2x^2-x-36=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 36 = 0$$

解 x

$$x=-4$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-36。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-1 ab=2\left(-36\right)=-72$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -72 的所有此類整數組合。

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

計算每個組合的總和。

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

該解為總和為 -1 的組合。

$$a=-9 b=8$$

將 2x^{2}-x-36 重寫為 \left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)。

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(8x-36\right)$$

對第一個與第二個群組中的 4 進行 x 因式分解。

$$x\left(2x-9\right)+4\left(2x-9\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-9。

$$\left(2x-9\right)\left(x+4\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 2x-9=0 和 x+4=0。

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-x-36=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -1 代入 b，以及將 -36 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-36\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -36。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+288}}{2\times 2}$$

將 1 加到 288。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

取 289 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-1\right)±17}{2\times 2}$$

-1 的相反數是 1。

$$x=\frac{1±17}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{1±17}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{1±17}{4}。 將 1 加到 17。

$$x=\frac{18}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{18}{4} 約分至最低項。

$$x=\frac{9}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{1±17}{4}。 從 1 減去 17。

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 除以 4。

$$x=-4$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-x-36=0$$

將 36 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}-x-36-\left(-36\right)=-\left(-36\right)$$

從 -36 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-x=-\left(-36\right)$$

從 0 減去 -36。

$$2x^{2}-x=36$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{36}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{36}{2}$$

36 除以 2。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

將 -\frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{4}。接著，將 -\frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

將 18 加到 \frac{1}{16}。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

將 \frac{1}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$