Solve 2x^2-3x-5=0

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 5 = 0$$

解 x

$$x=-1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-5。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -10 的所有此類整數組合。

$$1,-10 2,-5$$

計算每個組合的總和。

$$1-10=-9 2-5=-3$$

該解為總和為 -3 的組合。

$$a=-5 b=2$$

將 2x^{2}-3x-5 重寫為 \left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)。

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

因式分解 2x^{2}-5x 中的 x。

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-5。

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 2x-5=0 和 x+1=0。

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-3x-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -3 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

對 -3 平方。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -5。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

將 9 加到 40。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

-3 的相反數是 3。

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{3±7}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{3±7}{4}。 將 3 加到 7。

$$x=\frac{10}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{10}{4} 約分至最低項。

$$x=\frac{5}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{3±7}{4}。 從 3 減去 7。

$$x=-\frac{4}{4}$$

-4 除以 4。

$$x=-1$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-3x-5=0$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

從 -5 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

從 0 減去 -5。

$$2x^{2}-3x=5$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{5}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

將 -\frac{3}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{4}。接著，將 -\frac{3}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

將 \frac{5}{2} 與 \frac{9}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

將 \frac{3}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5}{2} x=-1$$