Solve 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

解 x

$$x=-4$$

$$x=5$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 28。

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

從 -12 減去 28 會得到 -40。

$$2x^{2}-2x-40=0$$

將兩邊同時除以 2。

$$x^{2}-x-20=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 x^{2}+ax+bx-20。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -20 的所有此類整數組合。

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

計算每個組合的總和。

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

該解為總和為 -1 的組合。

$$a=-5 b=4$$

將 x^{2}-x-20 重寫為 \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)。

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

對第一個與第二個群組中的 4 進行 x 因式分解。

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-5。

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-5=0 和 x+4=0。

$$x=5 x=-4$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-2x-12=28$$

從方程式兩邊減去 28。

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

從 28 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

從 -12 減去 28。

$$2x^{2}-2x-40=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -2 代入 b，以及將 -40 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

對 -2 平方。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -40。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

將 4 加到 320。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

取 324 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

-2 的相反數是 2。

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{2±18}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±18}{4}。 將 2 加到 18。

$$x=\frac{20}{4}$$

20 除以 4。

$$x=5$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±18}{4}。 從 2 減去 18。

$$x=-\frac{16}{4}$$

-16 除以 4。

$$x=-4$$

現已成功解出方程式。

$$x=5 x=-4$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-2x-12=28$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

從 -12 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

從 28 減去 -12。

$$2x^{2}-2x=40$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

-2 除以 2。

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

40 除以 2。

$$x^{2}-x=20$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

將 20 加到 \frac{1}{4}。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=5 x=-4$$