解決2x^2-2x-1=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-2x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -2 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

對 -2 平方。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -1。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

將 4 加到 8。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

取 12 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2 的相反數是 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}。 將 2 加到 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

2+2\sqrt{3} 除以 4。

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}。 從 2 減去 2\sqrt{3}。

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

2-2\sqrt{3} 除以 4。

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-2x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$2x^{2}-2x=1$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

-2 除以 2。

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$