解決2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x} |Microsoft數學求解器

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

解 x

$$x=-4$$

$$x=9$$

解題步驟

從方程式兩邊減去 6。

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

對方程式的兩邊都平方。

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

對 2x^{2}-10x-6 平方。

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

展開 \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}。

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

計算 11 的 2 乘冪，然後得到 121。

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

計算 \sqrt{x^{2}-5x} 的 2 乘冪，然後得到 x^{2}-5x。

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

計算 121 乘上 x^{2}-5x 時使用乘法分配律。

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

從兩邊減去 121x^{2}。

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

合併 76x^{2} 和 -121x^{2} 以取得 -45x^{2}。

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

新增 605x 至兩側。

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

合併 120x 和 605x 以取得 725x。

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 36，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=-4$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 除以 x+4 以得到 4x^{3}-56x^{2}+179x+9。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

根據有理根定理，多項式的所有有理根其形式為 \frac{p}{q}，其中 p 除以常數項 9，而 q 除以前置係數 4。 列出所有的候選 \frac{p}{q}。

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

從最小的絕對值開始，嘗試所有的整數值以找出此類的根。如果找不到整數根，請試試使用分數。

$$x=9$$

根據因式定理，x-k 是每個根為 k 之多項式的因式。 將 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 除以 x-9 以得到 4x^{2}-20x-1。 當結果等於 0 時，即可解出方程式。

$$4x^{2}-20x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式可以使用二次方公式解出: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。在二次方公式中以 4 取代 a、以 -20 取代 b 並以 -1 取 c。

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

計算。

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

當 ± 為加號與 ± 為減號時解方程式 4x^{2}-20x-1=0。

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

列出所有找到的解決方案。

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

在方程式 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} 中以 -4 代入 x。

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=-4。

$$72=72$$

在方程式 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} 中以 9 代入 x。

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

化簡。 滿足方程式的值 x=9。

$$72=72$$

在方程式 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} 中以 \frac{5-\sqrt{26}}{2} 代入 x。

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

化簡。 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} 的值不符合方程式。

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

在方程式 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} 中以 \frac{\sqrt{26}+5}{2} 代入 x。

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

化簡。 x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} 的值不符合方程式。

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

列出 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x} 所有的解。

$$x=-4 x=9$$