Solve 2x^2+9x-1=0

$$2 x ^ { 2 } + 9 x - 1 = 0$$

解 x

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}\approx 0.108495283$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}\approx -4.608495283$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+9x-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 9 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

對 9 平方。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -1。

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+8}}{2\times 2}$$

將 81 加到 8。

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}。 將 -9 加到 \sqrt{89}。

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-9±\sqrt{89}}{4}。 從 -9 減去 \sqrt{89}。

$$x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+9x-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}+9x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+9x=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$2x^{2}+9x=1$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+9x}{2}=\frac{1}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{1}{2}$$

將 \frac{9}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{9}{4}。接著，將 \frac{9}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{1}{2}+\frac{81}{16}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{81}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{89}{16}$$

因數分解 x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{89}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{16}}$$

化簡。

$$x+\frac{9}{4}=\frac{\sqrt{89}}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{\sqrt{89}}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{4}。

$$x=\frac{\sqrt{89}-9}{4} x=\frac{-\sqrt{89}-9}{4}$$