解決2x^2+7x-15=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

解 x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-15。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -30 的所有此類整數組合。

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

計算每個組合的總和。

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

該解的總和為 7。

$$a=-3 b=10$$

將 2x^{2}+7x-15 重寫為 \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)。

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 5。

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 2x-3=0 並 x+5=0。

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+7x-15=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 7 代入 b，以及將 -15 代入 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

對 7 平方。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -15。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

將 49 加到 120。

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

取 169 的平方根。

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-7±13}{4}。 將 -7 加到 13。

$$x=\frac{6}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{6}{4} 約分至最低項。

$$x=\frac{3}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-7±13}{4}。 從 -7 減去 13。

$$x=-\frac{20}{4}$$

-20 除以 4。

$$x=-5$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+7x-15=0$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

從 -15 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

從 0 減去 -15。

$$2x^{2}+7x=15$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

將 \frac{7}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{7}{4}。接著，將 \frac{7}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

\frac{7}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

將 \frac{15}{2} 與 \frac{49}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

因數分解 x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

化簡。

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{4}。

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$