解決2x^2+3x-90=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-90。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -180 的所有此類整數組合。

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

計算每個組合的總和。

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

該解的總和為 3。

$$a=-12 b=15$$

將 2x^{2}+3x-90 重寫為 \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)。

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 15。

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-6=0 並 2x+15=0。

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+3x-90=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 3 代入 b，以及將 -90 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -90。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

將 9 加到 720。

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

取 729 的平方根。

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±27}{4}。 將 -3 加到 27。

$$x=\frac{24}{4}$$

24 除以 4。

$$x=6$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±27}{4}。 從 -3 減去 27。

$$x=-\frac{30}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-30}{4} 約分至最低項。

$$x=-\frac{15}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+3x-90=0$$

將 90 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

從 -90 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

從 0 減去 -90。

$$2x^{2}+3x=90$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

90 除以 2。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

將 \frac{3}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{4}。接著，將 \frac{3}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

將 45 加到 \frac{9}{16}。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

因數分解 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{4}。

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$