解決2x^2+3x-5=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 5 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=1$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-5。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -10 的所有此類整數組合。

$$-1,10 -2,5$$

計算每個組合的總和。

$$-1+10=9 -2+5=3$$

該解的總和為 3。

$$a=-2 b=5$$

將 2x^{2}+3x-5 重寫為 \left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)。

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(5x-5\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 5。

$$2x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-1。

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-1=0 並 2x+5=0。

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+3x-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 3 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

對 3 平方。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -5。

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

將 9 加到 40。

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-3±7}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-3±7}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-3±7}{4}。 將 -3 加到 7。

$$x=\frac{4}{4}$$

4 除以 4。

$$x=1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-3±7}{4}。 從 -3 減去 7。

$$x=-\frac{10}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-10}{4} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+3x-5=0$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}+3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

從 -5 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+3x=-\left(-5\right)$$

從 0 減去 -5。

$$2x^{2}+3x=5$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{5}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{5}{2}$$

將 \frac{3}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{3}{4}。接著，將 \frac{3}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

\frac{3}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

將 \frac{5}{2} 與 \frac{9}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

因數分解 x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

化簡。

$$x+\frac{3}{4}=\frac{7}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{3}{4}。

$$x=1 x=-\frac{5}{2}$$