解決2x^2+1/4x+5=0 |Microsoft數學求解器

$$2 x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } x + 5 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{-1+3\sqrt{71}i}{16}\approx -0.0625+1.579903082i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{71}i-1}{16}\approx -0.0625-1.579903082i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+\frac{1}{4}x+5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 \frac{1}{4} 代入 b，以及將 5 代入 c。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\sqrt{\frac{1}{16}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\sqrt{\frac{1}{16}-8\times 5}}{2\times 2}$$

-8 乘上 5。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\sqrt{\frac{1}{16}-40}}{2\times 2}$$

將 \frac{1}{16} 加到 -40。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\sqrt{-\frac{639}{16}}}{2\times 2}$$

取 -\frac{639}{16} 的平方根。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\frac{3\sqrt{71}i}{4}}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-\frac{1}{4}±\frac{3\sqrt{71}i}{4}}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-\frac{1}{4}±\frac{3\sqrt{71}i}{4}}{4}。 將 -\frac{1}{4} 加到 \frac{3i\sqrt{71}}{4}。

$$x=\frac{-1+3\sqrt{71}i}{4\times 4}$$

\frac{-1+3i\sqrt{71}}{4} 除以 4。

$$x=\frac{-1+3\sqrt{71}i}{16}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-\frac{1}{4}±\frac{3\sqrt{71}i}{4}}{4}。 從 -\frac{1}{4} 減去 \frac{3i\sqrt{71}}{4}。

$$x=\frac{-3\sqrt{71}i-1}{4\times 4}$$

\frac{-1-3i\sqrt{71}}{4} 除以 4。

$$x=\frac{-3\sqrt{71}i-1}{16}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-1+3\sqrt{71}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{71}i-1}{16}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+\frac{1}{4}x+5=0$$

從方程式兩邊減去 5。

$$2x^{2}+\frac{1}{4}x+5-5=-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+\frac{1}{4}x=-5$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+\frac{1}{4}x}{2}=-\frac{5}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{\frac{1}{4}}{2}x=-\frac{5}{2}$$

\frac{1}{4} 除以 2。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x=-\frac{5}{2}$$

將 \frac{1}{8} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{16}。接著，將 \frac{1}{16} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{16}\right)^{2}$$

\frac{1}{16} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=-\frac{5}{2}+\frac{1}{256}$$

將 -\frac{5}{2} 與 \frac{1}{256} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=-\frac{639}{256}$$

因數分解 x^{2}+\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{639}{256}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{639}{256}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{16}=\frac{3\sqrt{71}i}{16} x+\frac{1}{16}=-\frac{3\sqrt{71}i}{16}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{16}。

$$x=\frac{-1+3\sqrt{71}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{71}i-1}{16}$$