解決2x=y+3,quady=3+x |Microsoft數學求解器

$$2 x = y + 3 , \quad y = 3 + x$$

解 x、y

$$x=6$$

$$y=9$$

使用代換的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$2x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

使用代換法來解一對方程式的方法: 首先解出其中一個方程式的一個變數。然後使用結果取代另一個方程式中的該變數。

$$2x-y=3,-x+y=3$$

選擇其中一個方程式並使用下列方式解出 x: 將 x 單獨置於等號的左邊。

$$2x-y=3$$

將 y 加到方程式的兩邊。

$$2x=y+3$$

將兩邊同時除以 2。

$$x=\frac{1}{2}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{2} 乘上 y+3。

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

在另一個方程式 -x+y=3 中以 \frac{3+y}{2} 代入 x在方程式。

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=3$$

-1 乘上 \frac{3+y}{2}。

$$-\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}+y=3$$

將 -\frac{y}{2} 加到 y。

$$\frac{1}{2}y-\frac{3}{2}=3$$

將 \frac{3}{2} 加到方程式的兩邊。

$$\frac{1}{2}y=\frac{9}{2}$$

將兩邊同時乘上 2。

$$y=9$$

在 x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$x=\frac{1}{2}\times 9+\frac{3}{2}$$

\frac{1}{2} 乘上 9。

$$x=\frac{9+3}{2}$$

將 \frac{3}{2} 與 \frac{9}{2} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=9$$

使用矩陣的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$2x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

將方程式以標準式表示，然後使用矩陣來解方程組。

$$2x-y=3,-x+y=3$$

以矩陣形式撰寫方程式。

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

方程式的兩邊在左方同時乘上 \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right) 的反矩陣。

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣和反矩陣的乘積為單位矩陣。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

乘以等號左邊的矩陣。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

對 2\times 2 矩陣 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，逆矩陣為 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩陣方程式可以改寫為矩陣相乘的問題。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

矩陣相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3+3\\3+2\times 3\end{matrix}\right)$$

計算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

解出矩陣元素 x 和 y。

$$x=6,y=9$$

使用消去法的步驟

考慮第一個方程式。 從兩邊減去 y。

$$2x-y=3$$

考慮第二個方程式。 從兩邊減去 x。

$$y-x=3$$

為了使用消去法求解，兩個方程式中的其中一個變數其係數必須相同，這樣兩個方程式相減時才會消去該變數。

$$2x-y=3,-x+y=3$$

讓 2x 和 -x 相等的方法: 將第一個方程式兩邊的所有項目都乘上 -1，以及將第二個方程式兩邊的所有項目都乘上 2。

$$-2x-\left(-y\right)=-3,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

化簡。

$$-2x+y=-3,-2x+2y=6$$

透過在等號兩邊減去同類項的方式，從 -2x+y=-3 減去 -2x+2y=6。

$$-2x+2x+y-2y=-3-6$$

將 -2x 加到 2x。 -2x 和 2x 項相互消去，方程式就會只剩下一個變數，很容易就可以解出。

$$y-2y=-3-6$$

將 y 加到 -2y。

$$-y=-3-6$$

將 -3 加到 -6。

$$-y=-9$$

將兩邊同時除以 -1。

$$y=9$$

在 -x+y=3 中以 9 代入 y。因為產生的方程式包含只有一個變數，您可以直接解出 x。

$$-x+9=3$$

從方程式兩邊減去 9。

$$-x=-6$$

將兩邊同時除以 -1。

$$x=6$$

現已成功解出系統。

$$x=6,y=9$$