解決2t^2-3t-9=0 |Microsoft數學求解器

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

解 t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$t=3$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2t^{2}+at+bt-9。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -18 的所有此類整數組合。

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

計算每個組合的總和。

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

該解的總和為 -3。

$$a=-6 b=3$$

將 2t^{2}-3t-9 重寫為 \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)。

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

在第一個組因式分解是 2t，且第二個組是 3。

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 t-3。

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 t-3=0 並 2t+3=0。

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2t^{2}-3t-9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -3 代入 b，以及將 -9 代入 c。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

對 -3 平方。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -9。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

將 9 加到 72。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

取 81 的平方根。

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

-3 的相反數是 3。

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$t=\frac{3±9}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{3±9}{4}。 將 3 加到 9。

$$t=\frac{12}{4}$$

12 除以 4。

$$t=3$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{3±9}{4}。 從 3 減去 9。

$$t=-\frac{6}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-6}{4} 約分至最低項。

$$t=-\frac{3}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2t^{2}-3t-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

從 -9 減去本身會剩下 0。

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

從 0 減去 -9。

$$2t^{2}-3t=9$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

將 -\frac{3}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{3}{4}。接著，將 -\frac{3}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

-\frac{3}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

將 \frac{9}{2} 與 \frac{9}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

因數分解 t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

化簡。

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

將 \frac{3}{4} 加到方程式的兩邊。

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$