Solve 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

解 k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$k=-1$$

使用依分組因數分解的步驟

新增 7 至兩側。

$$2k^{2}+9k+7=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2k^{2}+ak+bk+7。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為正數, a 且 b 都是正數。 列出乘積為 14 的所有此類整數組合。

$$1,14 2,7$$

計算每個組合的總和。

$$1+14=15 2+7=9$$

該解為總和為 9 的組合。

$$a=2 b=7$$

將 2k^{2}+9k+7 重寫為 \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)。

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

對第一個與第二個群組中的 7 進行 2k 因式分解。

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 k+1。

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 k+1=0 和 2k+7=0。

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2k^{2}+9k=-7$$

將 7 加到方程式的兩邊。

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

從 -7 減去本身會剩下 0。

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

從 0 減去 -7。

$$2k^{2}+9k+7=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 9 代入 b，以及將 7 代入 c。

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

對 9 平方。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

-8 乘上 7。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

將 81 加到 -56。

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

取 25 的平方根。

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 k=\frac{-9±5}{4}。 將 -9 加到 5。

$$k=-\frac{4}{4}$$

-4 除以 4。

$$k=-1$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 k=\frac{-9±5}{4}。 從 -9 減去 5。

$$k=-\frac{14}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-14}{4} 約分至最低項。

$$k=-\frac{7}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2k^{2}+9k=-7$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

將 \frac{9}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{9}{4}。接著，將 \frac{9}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

\frac{9}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

將 -\frac{7}{2} 與 \frac{81}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

因數分解 k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

化簡。

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{4}。

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$