Solve 2x^2-5x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+3 = 0$$

解 x

$$x=1$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx+3。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-5 ab=2\times 3=6$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為負值, a 且 b 均為負數。 列出乘積為 6 的所有此類整數組合。

$$-1,-6 -2,-3$$

計算每個組合的總和。

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

該解為總和為 -5 的組合。

$$a=-3 b=-2$$

將 2x^{2}-5x+3 重寫為 \left(2x^{2}-3x\right)+\left(-2x+3\right)。

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(-2x+3\right)$$

對第一個與第二個群組中的 -1 進行 x 因式分解。

$$x\left(2x-3\right)-\left(2x-3\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-3。

$$\left(2x-3\right)\left(x-1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 2x-3=0 和 x-1=0。

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-5x+3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -5 代入 b，以及將 3 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

對 -5 平方。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 3}}{2\times 2}$$

-8 乘上 3。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 2}$$

將 25 加到 -24。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 2}$$

-5 的相反數是 5。

$$x=\frac{5±1}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{5±1}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{5±1}{4}。 將 5 加到 1。

$$x=\frac{6}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{6}{4} 約分至最低項。

$$x=\frac{3}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{5±1}{4}。 從 5 減去 1。

$$x=\frac{4}{4}$$

4 除以 4。

$$x=1$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{3}{2} x=1$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-5x+3=0$$

從方程式兩邊減去 3。

$$2x^{2}-5x+3-3=-3$$

從 3 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-5x=-3$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{3}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$$

將 -\frac{5}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{4}。接著，將 -\frac{5}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{25}{16}$$

將 -\frac{3}{2} 與 \frac{25}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{1}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{1}{4}$$

將 \frac{5}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{3}{2} x=1$$