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解 x
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2x^{2}-2x=1
所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解,一個是在 ± 中使用加法,另一個是使用減法。
2x^{2}-2x-1=1-1
從方程式兩邊減去 1。
2x^{2}-2x-1=0
從 1 減去本身會剩下 0。
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}
此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},將 2 代入 a,將 -2 代入 b,以及將 -1 代入 c。
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}
對 -2 平方。
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}
-4 乘上 2。
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}
-8 乘上 -1。
x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}
將 4 加到 8。
x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}
取 12 的平方根。
x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}
-2 的相反數是 2。
x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}
2 乘上 2。
x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}
現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}。 將 2 加到 2\sqrt{3}。
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}
2+2\sqrt{3} 除以 4。
x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}
現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}。 從 2 減去 2\sqrt{3}。
x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
2-2\sqrt{3} 除以 4。
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
現已成功解出方程式。
2x^{2}-2x=1
與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方,首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。
\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}
將兩邊同時除以 2。
x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}
除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。
x^{2}-x=\frac{1}{2}
-2 除以 2。
x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}
將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著,將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}
-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。
x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
將 \frac{1}{2} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分,接著相加分子,然後將分式化為最簡分式。
\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}
因數分解 x^{2}-x+\frac{1}{4}。一般而言,當 x^{2}+bx+c 是完全平方時,一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}
取方程式兩邊的平方根。
x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}
化簡。
x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}
將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。