解決2x^2-13x+21=0 |Microsoft數學求解器

$$2 { x }^{ 2 } -13x+21 = 0$$

解 x

$$x=3$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx+21。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-13 ab=2\times 21=42$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 42 的所有此類整數組合。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

計算每個組合的總和。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

該解的總和為 -13。

$$a=-7 b=-6$$

將 2x^{2}-13x+21 重寫為 \left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)。

$$\left(2x^{2}-7x\right)+\left(-6x+21\right)$$

在第一個組因式分解是 x，且第二個組是 -3。

$$x\left(2x-7\right)-3\left(2x-7\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-7。

$$\left(2x-7\right)\left(x-3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 2x-7=0 並 x-3=0。

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-13x+21=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -13 代入 b，以及將 21 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

對 -13 平方。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 2\times 21}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-8\times 21}}{2\times 2}$$

-8 乘上 21。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\times 2}$$

將 169 加到 -168。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\times 2}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\times 2}$$

-13 的相反數是 13。

$$x=\frac{13±1}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{13±1}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{13±1}{4}。 將 13 加到 1。

$$x=\frac{14}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{14}{4} 約分至最低項。

$$x=\frac{7}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{13±1}{4}。 從 13 減去 1。

$$x=\frac{12}{4}$$

12 除以 4。

$$x=3$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{7}{2} x=3$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-13x+21=0$$

從方程式兩邊減去 21。

$$2x^{2}-13x+21-21=-21$$

從 21 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-13x=-21$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-13x}{2}=-\frac{21}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{21}{2}$$

將 -\frac{13}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{13}{4}。接著，將 -\frac{13}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=-\frac{21}{2}+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

-\frac{13}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=-\frac{21}{2}+\frac{169}{16}$$

將 -\frac{21}{2} 與 \frac{169}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{1}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{13}{4}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{1}{4}$$

將 \frac{13}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{7}{2} x=3$$