Solve 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

解 x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=8$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-40。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -80 的所有此類整數組合。

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

計算每個組合的總和。

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

該解為總和為 -11 的組合。

$$a=-16 b=5$$

將 2x^{2}-11x-40 重寫為 \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)。

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

對第一個與第二個群組中的 5 進行 2x 因式分解。

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-8。

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-8=0 和 2x+5=0。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}-11x-40=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 -11 代入 b，以及將 -40 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

對 -11 平方。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -40。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

將 121 加到 320。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

取 441 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

-11 的相反數是 11。

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{11±21}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{11±21}{4}。 將 11 加到 21。

$$x=\frac{32}{4}$$

32 除以 4。

$$x=8$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{11±21}{4}。 從 11 減去 21。

$$x=-\frac{10}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-10}{4} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}-11x-40=0$$

將 40 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

從 -40 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

從 0 減去 -40。

$$2x^{2}-11x=40$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

40 除以 2。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

將 -\frac{11}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{4}。接著，將 -\frac{11}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

-\frac{11}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

將 20 加到 \frac{121}{16}。

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

將 \frac{11}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$