Solve 2x^2+x-528=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-528=0$$

解 x

$$x = -\frac{33}{2} = -16\frac{1}{2} = -16.5$$

$$x=16$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 2x^{2}+ax+bx-528。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=1 ab=2\left(-528\right)=-1056$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -1056 的所有此類整數組合。

$$-1,1056 -2,528 -3,352 -4,264 -6,176 -8,132 -11,96 -12,88 -16,66 -22,48 -24,44 -32,33$$

計算每個組合的總和。

$$-1+1056=1055 -2+528=526 -3+352=349 -4+264=260 -6+176=170 -8+132=124 -11+96=85 -12+88=76 -16+66=50 -22+48=26 -24+44=20 -32+33=1$$

該解為總和為 1 的組合。

$$a=-32 b=33$$

將 2x^{2}+x-528 重寫為 \left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)。

$$\left(2x^{2}-32x\right)+\left(33x-528\right)$$

對第一個與第二個群組中的 33 進行 2x 因式分解。

$$2x\left(x-16\right)+33\left(x-16\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-16。

$$\left(x-16\right)\left(2x+33\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 x-16=0 和 2x+33=0。

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$2x^{2}+x-528=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 2 代入 a，將 1 代入 b，以及將 -528 代入 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

對 1 平方。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

-4 乘上 2。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-528\right)}}{2\times 2}$$

-8 乘上 -528。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4224}}{2\times 2}$$

將 1 加到 4224。

$$x=\frac{-1±\sqrt{4225}}{2\times 2}$$

取 4225 的平方根。

$$x=\frac{-1±65}{2\times 2}$$

2 乘上 2。

$$x=\frac{-1±65}{4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-1±65}{4}。 將 -1 加到 65。

$$x=\frac{64}{4}$$

64 除以 4。

$$x=16$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-1±65}{4}。 從 -1 減去 65。

$$x=-\frac{66}{4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-66}{4} 約分至最低項。

$$x=-\frac{33}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$2x^{2}+x-528=0$$

將 528 加到方程式的兩邊。

$$2x^{2}+x-528-\left(-528\right)=-\left(-528\right)$$

從 -528 減去本身會剩下 0。

$$2x^{2}+x=-\left(-528\right)$$

從 0 減去 -528。

$$2x^{2}+x=528$$

將兩邊同時除以 2。

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{528}{2}$$

除以 2 可以取消乘以 2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{528}{2}$$

528 除以 2。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=264$$

將 \frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{4}。接著，將 \frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=264+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=264+\frac{1}{16}$$

將 264 加到 \frac{1}{16}。

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{4225}{16}$$

因數分解 x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{4225}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4225}{16}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{4}=\frac{65}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{65}{4}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{4}。

$$x=16 x=-\frac{33}{2}$$