解決2+y(1-3y)=y(y-3) |Microsoft數學求解器

$$2 + y ( 1 - 3 y ) = y ( y - 3 )$$

解 y

$$y = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

使用二次方程式公式的步驟

計算 y 乘上 1-3y 時使用乘法分配律。

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

計算 y 乘上 y-3 時使用乘法分配律。

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

合併 -3y^{2} 和 -y^{2} 以取得 -4y^{2}。

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

新增 3y 至兩側。

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

合併 y 和 3y 以取得 4y。

$$2+4y-4y^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-4y^{2}+4y+2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -4 代入 a，將 4 代入 b，以及將 2 代入 c。

$$y=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

對 4 平方。

$$y=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

-4 乘上 -4。

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+16\times 2}}{2\left(-4\right)}$$

16 乘上 2。

$$y=\frac{-4±\sqrt{16+32}}{2\left(-4\right)}$$

將 16 加到 32。

$$y=\frac{-4±\sqrt{48}}{2\left(-4\right)}$$

取 48 的平方根。

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{2\left(-4\right)}$$

2 乘上 -4。

$$y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}。 將 -4 加到 4\sqrt{3}。

$$y=\frac{4\sqrt{3}-4}{-8}$$

-4+4\sqrt{3} 除以 -8。

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-4±4\sqrt{3}}{-8}。 從 -4 減去 4\sqrt{3}。

$$y=\frac{-4\sqrt{3}-4}{-8}$$

-4-4\sqrt{3} 除以 -8。

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$y=\frac{1-\sqrt{3}}{2} y=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

配方法的步驟

計算 y 乘上 1-3y 時使用乘法分配律。

$$2+y-3y^{2}=y\left(y-3\right)$$

計算 y 乘上 y-3 時使用乘法分配律。

$$2+y-3y^{2}=y^{2}-3y$$

從兩邊減去 y^{2}。

$$2+y-3y^{2}-y^{2}=-3y$$

合併 -3y^{2} 和 -y^{2} 以取得 -4y^{2}。

$$2+y-4y^{2}=-3y$$

新增 3y 至兩側。

$$2+y-4y^{2}+3y=0$$

合併 y 和 3y 以取得 4y。

$$2+4y-4y^{2}=0$$

從兩邊減去 2。 從零減去任何項目的結果都會是該項目的負值。

$$4y-4y^{2}=-2$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-4y^{2}+4y=-2$$

將兩邊同時除以 -4。

$$\frac{-4y^{2}+4y}{-4}=-\frac{2}{-4}$$

除以 -4 可以取消乘以 -4 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{4}{-4}y=-\frac{2}{-4}$$

4 除以 -4。

$$y^{2}-y=-\frac{2}{-4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-2}{-4} 約分至最低項。

$$y^{2}-y=\frac{1}{2}$$

將 -1 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{2}。接著，將 -\frac{1}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

將 \frac{1}{2} 與 \frac{1}{4} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

因數分解 y^{2}-y+\frac{1}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

化簡。

$$y-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

將 \frac{1}{2} 加到方程式的兩邊。

$$y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$