Solve 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 18x^{2}+ax+bx-5。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -90 的所有此類整數組合。

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

計算每個組合的總和。

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

該解為總和為 -9 的組合。

$$a=-15 b=6$$

將 18x^{2}-9x-5 重寫為 \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)。

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

因式分解 18x^{2}-15x 中的 3x。

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

使用分配律來因式分解常用項 6x-5。

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 6x-5=0 和 3x+1=0。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$18x^{2}-9x-5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 18 代入 a，將 -9 代入 b，以及將 -5 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

對 -9 平方。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-4 乘上 18。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

-72 乘上 -5。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

將 81 加到 360。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

取 441 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

-9 的相反數是 9。

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

2 乘上 18。

$$x=\frac{9±21}{36}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{9±21}{36}。 將 9 加到 21。

$$x=\frac{30}{36}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{30}{36} 約分至最低項。

$$x=\frac{5}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{9±21}{36}。 從 9 減去 21。

$$x=-\frac{12}{36}$$

透過找出與消去 12，對分式 \frac{-12}{36} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$18x^{2}-9x-5=0$$

將 5 加到方程式的兩邊。

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

從 -5 減去本身會剩下 0。

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

從 0 減去 -5。

$$18x^{2}-9x=5$$

將兩邊同時除以 18。

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

除以 18 可以取消乘以 18 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

透過找出與消去 9，對分式 \frac{-9}{18} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

將 -\frac{1}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{1}{4}。接著，將 -\frac{1}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

-\frac{1}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

將 \frac{5}{18} 與 \frac{1}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

因數分解 x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

化簡。

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

將 \frac{1}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$