解決16x^2=40x-9 |Microsoft數學求解器

$$16 x ^ { 2 } = 40 x - 9$$

解 x

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

$$x = \frac{9}{4} = 2\frac{1}{4} = 2.25$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 40x。

$$16x^{2}-40x=-9$$

新增 9 至兩側。

$$16x^{2}-40x+9=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 16x^{2}+ax+bx+9。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-40 ab=16\times 9=144$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是負值，a 和 b 都是負值。 列出乘積為 144 的所有此類整數組合。

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

計算每個組合的總和。

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

該解的總和為 -40。

$$a=-36 b=-4$$

將 16x^{2}-40x+9 重寫為 \left(16x^{2}-36x\right)+\left(-4x+9\right)。

$$\left(16x^{2}-36x\right)+\left(-4x+9\right)$$

在第一個組因式分解是 4x，且第二個組是 -1。

$$4x\left(4x-9\right)-\left(4x-9\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4x-9。

$$\left(4x-9\right)\left(4x-1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4x-9=0 並 4x-1=0。

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 40x。

$$16x^{2}-40x=-9$$

新增 9 至兩側。

$$16x^{2}-40x+9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 16 代入 a，將 -40 代入 b，以及將 9 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

對 -40 平方。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

-4 乘上 16。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-64\times 9}}{2\times 16}$$

-64 乘上 9。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-576}}{2\times 16}$$

將 1600 加到 -576。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1024}}{2\times 16}$$

取 1024 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-40\right)±32}{2\times 16}$$

-40 的相反數是 40。

$$x=\frac{40±32}{2\times 16}$$

2 乘上 16。

$$x=\frac{40±32}{32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{40±32}{32}。 將 40 加到 32。

$$x=\frac{72}{32}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{72}{32} 約分至最低項。

$$x=\frac{9}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{40±32}{32}。 從 40 減去 32。

$$x=\frac{8}{32}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{8}{32} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$

配方法的步驟

從兩邊減去 40x。

$$16x^{2}-40x=-9$$

將兩邊同時除以 16。

$$\frac{16x^{2}-40x}{16}=-\frac{9}{16}$$

除以 16 可以取消乘以 16 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{-40}{16} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{9}{16}$$

將 -\frac{5}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{4}。接著，將 -\frac{5}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

-\frac{5}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{-9+25}{16}$$

將 -\frac{9}{16} 與 \frac{25}{16} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=1$$

因數分解 x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=1$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{4}=1 x-\frac{5}{4}=-1$$

將 \frac{5}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{9}{4} x=\frac{1}{4}$$