解決16x^2+74x+9=0 |Microsoft數學求解器

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0.125$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 16x^{2}+ax+bx+9。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 144 的所有此類整數組合。

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

計算每個組合的總和。

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

該解的總和為 74。

$$a=2 b=72$$

將 16x^{2}+74x+9 重寫為 \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)。

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 9。

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 8x+1。

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 8x+1=0 並 2x+9=0。

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$16x^{2}+74x+9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 16 代入 a，將 74 代入 b，以及將 9 代入 c。

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

對 74 平方。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

-4 乘上 16。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

-64 乘上 9。

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

將 5476 加到 -576。

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

取 4900 的平方根。

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

2 乘上 16。

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-74±70}{32}。 將 -74 加到 70。

$$x=-\frac{4}{32}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-4}{32} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-74±70}{32}。 從 -74 減去 70。

$$x=-\frac{144}{32}$$

透過找出與消去 16，對分式 \frac{-144}{32} 約分至最低項。

$$x=-\frac{9}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$16x^{2}+74x+9=0$$

從方程式兩邊減去 9。

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

從 9 減去本身會剩下 0。

$$16x^{2}+74x=-9$$

將兩邊同時除以 16。

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

除以 16 可以取消乘以 16 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{74}{16} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

將 \frac{37}{8} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{37}{16}。接著，將 \frac{37}{16} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

\frac{37}{16} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

將 -\frac{9}{16} 與 \frac{1369}{256} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

因數分解 x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

化簡。

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

從方程式兩邊減去 \frac{37}{16}。

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$