解決16x^2+10x-9=0 |Microsoft數學求解器

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1.125$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 16x^{2}+ax+bx-9。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -144 的所有此類整數組合。

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

計算每個組合的總和。

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

該解的總和為 10。

$$a=-8 b=18$$

將 16x^{2}+10x-9 重寫為 \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)。

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

在第一個組因式分解是 8x，且第二個組是 9。

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-1。

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 2x-1=0 並 8x+9=0。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$16x^{2}+10x-9=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 16 代入 a，將 10 代入 b，以及將 -9 代入 c。

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

對 10 平方。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-4 乘上 16。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

-64 乘上 -9。

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

將 100 加到 576。

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

取 676 的平方根。

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

2 乘上 16。

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-10±26}{32}。 將 -10 加到 26。

$$x=\frac{16}{32}$$

透過找出與消去 16，對分式 \frac{16}{32} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{2}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-10±26}{32}。 從 -10 減去 26。

$$x=-\frac{36}{32}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-36}{32} 約分至最低項。

$$x=-\frac{9}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$16x^{2}+10x-9=0$$

將 9 加到方程式的兩邊。

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

從 -9 減去本身會剩下 0。

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

從 0 減去 -9。

$$16x^{2}+10x=9$$

將兩邊同時除以 16。

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

除以 16 可以取消乘以 16 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{10}{16} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

將 \frac{5}{8} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{5}{16}。接著，將 \frac{5}{16} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

\frac{5}{16} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

將 \frac{9}{16} 與 \frac{25}{256} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

因數分解 x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

化簡。

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

從方程式兩邊減去 \frac{5}{16}。

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$