解決15x^2+11x+2=0 |Microsoft數學求解器

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

解 x

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 15x^{2}+ax+bx+2。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為正數, a 且 b 都是正數。 列出乘積為 30 的所有此類整數組合。

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

計算每個組合的總和。

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

該解為總和為 11 的組合。

$$a=5 b=6$$

將 15x^{2}+11x+2 重寫為 \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)。

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

對第一個與第二個群組中的 2 進行 5x 因式分解。

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3x+1。

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 3x+1=0 和 5x+2=0。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$15x^{2}+11x+2=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 15 代入 a，將 11 代入 b，以及將 2 代入 c。

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

對 11 平方。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 乘上 15。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 乘上 2。

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

將 121 加到 -120。

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 乘上 15。

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-11±1}{30}。 將 -11 加到 1。

$$x=-\frac{10}{30}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{-10}{30} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-11±1}{30}。 從 -11 減去 1。

$$x=-\frac{12}{30}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-12}{30} 約分至最低項。

$$x=-\frac{2}{5}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$15x^{2}+11x+2=0$$

從方程式兩邊減去 2。

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

從 2 減去本身會剩下 0。

$$15x^{2}+11x=-2$$

將兩邊同時除以 15。

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

除以 15 可以取消乘以 15 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

將 \frac{11}{15} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{11}{30}。接著，將 \frac{11}{30} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

\frac{11}{30} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

將 -\frac{2}{15} 與 \frac{121}{900} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

因數分解 x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

化簡。

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

從方程式兩邊減去 \frac{11}{30}。

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$