解決15x^2+4x-4=0 |Microsoft數學求解器

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

解 x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 15x^{2}+ax+bx-4。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -60 的所有此類整數組合。

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

計算每個組合的總和。

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

該解的總和為 4。

$$a=-6 b=10$$

將 15x^{2}+4x-4 重寫為 \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)。

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 2。

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 5x-2。

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 5x-2=0 並 3x+2=0。

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$15x^{2}+4x-4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 15 代入 a，將 4 代入 b，以及將 -4 代入 c。

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

對 4 平方。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 乘上 15。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 乘上 -4。

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

將 16 加到 240。

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

取 256 的平方根。

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

2 乘上 15。

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-4±16}{30}。 將 -4 加到 16。

$$x=\frac{12}{30}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{12}{30} 約分至最低項。

$$x=\frac{2}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-4±16}{30}。 從 -4 減去 16。

$$x=-\frac{20}{30}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{-20}{30} 約分至最低項。

$$x=-\frac{2}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$15x^{2}+4x-4=0$$

將 4 加到方程式的兩邊。

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

從 -4 減去本身會剩下 0。

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

從 0 減去 -4。

$$15x^{2}+4x=4$$

將兩邊同時除以 15。

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

除以 15 可以取消乘以 15 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

將 \frac{4}{15} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{2}{15}。接著，將 \frac{2}{15} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

\frac{2}{15} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

將 \frac{4}{15} 與 \frac{4}{225} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

因數分解 x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

化簡。

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

從方程式兩邊減去 \frac{2}{15}。

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$