解決120x^2+8000x-92000=0 |Microsoft數學求解器

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

解 x

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76.666666667$$

$$x=10$$

使用依分組因數分解的步驟

將兩邊同時除以 40。

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 3x^{2}+ax+bx-2300。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -6900 的所有此類整數組合。

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

計算每個組合的總和。

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

該解的總和為 200。

$$a=-30 b=230$$

將 3x^{2}+200x-2300 重寫為 \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)。

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

在第一個組因式分解是 3x，且第二個組是 230。

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-10。

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-10=0 並 3x+230=0。

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 120 代入 a，將 8000 代入 b，以及將 -92000 代入 c。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

對 8000 平方。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4 乘上 120。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480 乘上 -92000。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

將 64000000 加到 44160000。

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

取 108160000 的平方根。

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2 乘上 120。

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-8000±10400}{240}。 將 -8000 加到 10400。

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400 除以 240。

$$x=10$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-8000±10400}{240}。 從 -8000 減去 10400。

$$x=-\frac{18400}{240}$$

透過找出與消去 80，對分式 \frac{-18400}{240} 約分至最低項。

$$x=-\frac{230}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

將 92000 加到方程式的兩邊。

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

從 -92000 減去本身會剩下 0。

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

從 0 減去 -92000。

$$120x^{2}+8000x=92000$$

將兩邊同時除以 120。

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

除以 120 可以取消乘以 120 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

透過找出與消去 40，對分式 \frac{8000}{120} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

透過找出與消去 40，對分式 \frac{92000}{120} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

將 \frac{200}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{100}{3}。接著，將 \frac{100}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

將 \frac{2300}{3} 與 \frac{10000}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

因數分解 x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

化簡。

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

從方程式兩邊減去 \frac{100}{3}。

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$