Solve 12x^2-320x+1600=0

$$12 x ^ { 2 } - 320 x + 1600 = 0$$

解 x

$$x = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

$$x=20$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 12 代入 a，將 -320 代入 b，以及將 1600 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{\left(-320\right)^{2}-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

對 -320 平方。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-4\times 12\times 1600}}{2\times 12}$$

-4 乘上 12。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-48\times 1600}}{2\times 12}$$

-48 乘上 1600。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{102400-76800}}{2\times 12}$$

將 102400 加到 -76800。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±\sqrt{25600}}{2\times 12}$$

取 25600 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-320\right)±160}{2\times 12}$$

-320 的相反數是 320。

$$x=\frac{320±160}{2\times 12}$$

2 乘上 12。

$$x=\frac{320±160}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{320±160}{24}。 將 320 加到 160。

$$x=\frac{480}{24}$$

480 除以 24。

$$x=20$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{320±160}{24}。 從 320 減去 160。

$$x=\frac{160}{24}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{160}{24} 約分至最低項。

$$x=\frac{20}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$12x^{2}-320x+1600=0$$

從方程式兩邊減去 1600。

$$12x^{2}-320x+1600-1600=-1600$$

從 1600 減去本身會剩下 0。

$$12x^{2}-320x=-1600$$

將兩邊同時除以 12。

$$\frac{12x^{2}-320x}{12}=-\frac{1600}{12}$$

除以 12 可以取消乘以 12 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{320}{12}\right)x=-\frac{1600}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-320}{12} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{1600}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-1600}{12} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x=-\frac{400}{3}$$

將 -\frac{80}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{40}{3}。接著，將 -\frac{40}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}=-\frac{400}{3}+\left(-\frac{40}{3}\right)^{2}$$

-\frac{40}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=-\frac{400}{3}+\frac{1600}{9}$$

將 -\frac{400}{3} 與 \frac{1600}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}=\frac{400}{9}$$

因數分解 x^{2}-\frac{80}{3}x+\frac{1600}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{40}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

化簡。

$$x-\frac{40}{3}=\frac{20}{3} x-\frac{40}{3}=-\frac{20}{3}$$

將 \frac{40}{3} 加到方程式的兩邊。

$$x=20 x=\frac{20}{3}$$