解決12r^2-11r-15=0 |Microsoft數學求解器

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

解 r

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 12r^{2}+ar+br-15。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -180 的所有此類整數組合。

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

計算每個組合的總和。

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

該解的總和為 -11。

$$a=-20 b=9$$

將 12r^{2}-11r-15 重寫為 \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)。

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

在第一個組因式分解是 4r，且第二個組是 3。

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 3r-5。

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 3r-5=0 並 4r+3=0。

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$12r^{2}-11r-15=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 12 代入 a，將 -11 代入 b，以及將 -15 代入 c。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

對 -11 平方。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 乘上 12。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 乘上 -15。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

將 121 加到 720。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

取 841 的平方根。

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11 的相反數是 11。

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

2 乘上 12。

$$r=\frac{11±29}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 r=\frac{11±29}{24}。 將 11 加到 29。

$$r=\frac{40}{24}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{40}{24} 約分至最低項。

$$r=\frac{5}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 r=\frac{11±29}{24}。 從 11 減去 29。

$$r=-\frac{18}{24}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{-18}{24} 約分至最低項。

$$r=-\frac{3}{4}$$

現已成功解出方程式。

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$12r^{2}-11r-15=0$$

將 15 加到方程式的兩邊。

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

從 -15 減去本身會剩下 0。

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

從 0 減去 -15。

$$12r^{2}-11r=15$$

將兩邊同時除以 12。

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

除以 12 可以取消乘以 12 造成的效果。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{15}{12} 約分至最低項。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

將 -\frac{11}{12} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{24}。接著，將 -\frac{11}{24} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

-\frac{11}{24} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

將 \frac{5}{4} 與 \frac{121}{576} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

因數分解 r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

化簡。

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

將 \frac{11}{24} 加到方程式的兩邊。

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$