解決12(n-4)-30=n^2-9n+12 |Microsoft數學求解器

$$12 ( n - 4 ) - 30 = n ^ { 2 } - 9 n + 12$$

解 n

$$n=6$$

$$n=15$$

使用依分組因數分解的步驟

計算 12 乘上 n-4 時使用乘法分配律。

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

從 -48 減去 30 會得到 -78。

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

從兩邊減去 n^{2}。

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

新增 9n 至兩側。

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

合併 12n 和 9n 以取得 21n。

$$21n-78-n^{2}=12$$

從兩邊減去 12。

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

從 -78 減去 12 會得到 -90。

$$21n-90-n^{2}=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-n^{2}+21n-90=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -n^{2}+an+bn-90。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=21 ab=-\left(-90\right)=90$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 90 的所有此類整數組合。

$$1,90 2,45 3,30 5,18 6,15 9,10$$

計算每個組合的總和。

$$1+90=91 2+45=47 3+30=33 5+18=23 6+15=21 9+10=19$$

該解的總和為 21。

$$a=15 b=6$$

將 -n^{2}+21n-90 重寫為 \left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)。

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(6n-90\right)$$

在第一個組因式分解是 -n，且第二個組是 6。

$$-n\left(n-15\right)+6\left(n-15\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 n-15。

$$\left(n-15\right)\left(-n+6\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 n-15=0 並 -n+6=0。

$$n=15 n=6$$

使用二次方程式公式的步驟

計算 12 乘上 n-4 時使用乘法分配律。

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

從 -48 減去 30 會得到 -78。

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

從兩邊減去 n^{2}。

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

新增 9n 至兩側。

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

合併 12n 和 9n 以取得 21n。

$$21n-78-n^{2}=12$$

從兩邊減去 12。

$$21n-78-n^{2}-12=0$$

從 -78 減去 12 會得到 -90。

$$21n-90-n^{2}=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-n^{2}+21n-90=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 21 代入 b，以及將 -90 代入 c。

$$n=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

對 21 平方。

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-1\right)\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$n=\frac{-21±\sqrt{441+4\left(-90\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 -90。

$$n=\frac{-21±\sqrt{441-360}}{2\left(-1\right)}$$

將 441 加到 -360。

$$n=\frac{-21±\sqrt{81}}{2\left(-1\right)}$$

取 81 的平方根。

$$n=\frac{-21±9}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$n=\frac{-21±9}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 n=\frac{-21±9}{-2}。 將 -21 加到 9。

$$n=-\frac{12}{-2}$$

-12 除以 -2。

$$n=6$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 n=\frac{-21±9}{-2}。 從 -21 減去 9。

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-30 除以 -2。

$$n=15$$

現已成功解出方程式。

$$n=6 n=15$$

配方法的步驟

計算 12 乘上 n-4 時使用乘法分配律。

$$12n-48-30=n^{2}-9n+12$$

從 -48 減去 30 會得到 -78。

$$12n-78=n^{2}-9n+12$$

從兩邊減去 n^{2}。

$$12n-78-n^{2}=-9n+12$$

新增 9n 至兩側。

$$12n-78-n^{2}+9n=12$$

合併 12n 和 9n 以取得 21n。

$$21n-78-n^{2}=12$$

新增 78 至兩側。

$$21n-n^{2}=12+78$$

將 12 與 78 相加可以得到 90。

$$21n-n^{2}=90$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-n^{2}+21n=90$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-n^{2}+21n}{-1}=\frac{90}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$n^{2}+\frac{21}{-1}n=\frac{90}{-1}$$

21 除以 -1。

$$n^{2}-21n=\frac{90}{-1}$$

90 除以 -1。

$$n^{2}-21n=-90$$

將 -21 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{21}{2}。接著，將 -\frac{21}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$n^{2}-21n+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-90+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

-\frac{21}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=-90+\frac{441}{4}$$

將 -90 加到 \frac{441}{4}。

$$n^{2}-21n+\frac{441}{4}=\frac{81}{4}$$

因數分解 n^{2}-21n+\frac{441}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

化簡。

$$n-\frac{21}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{21}{2}=-\frac{9}{2}$$

將 \frac{21}{2} 加到方程式的兩邊。

$$n=15 n=6$$