Solve 12x^2+32x+5=0

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

解 x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 12x^{2}+ax+bx+5。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

因為 ab 為正數, a 且 b 具有相同的符號。 因為 a+b 為正數, a 且 b 都是正數。 列出乘積為 60 的所有此類整數組合。

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

計算每個組合的總和。

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

該解為總和為 32 的組合。

$$a=2 b=30$$

將 12x^{2}+32x+5 重寫為 \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)。

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

對第一個與第二個群組中的 5 進行 2x 因式分解。

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 6x+1。

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 6x+1=0 和 2x+5=0。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$12x^{2}+32x+5=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 12 代入 a，將 32 代入 b，以及將 5 代入 c。

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

對 32 平方。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-4 乘上 12。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

-48 乘上 5。

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

將 1024 加到 -240。

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

取 784 的平方根。

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

2 乘上 12。

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-32±28}{24}。 將 -32 加到 28。

$$x=-\frac{4}{24}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-4}{24} 約分至最低項。

$$x=-\frac{1}{6}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-32±28}{24}。 從 -32 減去 28。

$$x=-\frac{60}{24}$$

透過找出與消去 12，對分式 \frac{-60}{24} 約分至最低項。

$$x=-\frac{5}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$12x^{2}+32x+5=0$$

從方程式兩邊減去 5。

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$12x^{2}+32x=-5$$

將兩邊同時除以 12。

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

除以 12 可以取消乘以 12 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{32}{12} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

將 \frac{8}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{4}{3}。接著，將 \frac{4}{3} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

將 -\frac{5}{12} 與 \frac{16}{9} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

因數分解 x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

化簡。

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

從方程式兩邊減去 \frac{4}{3}。

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$