Solve 12x^2+25x-45=0

$$12 { x }^{ 2 } +25x-45=0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{2785} - 25}{24} \approx 1.157212467$$

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}\approx -3.2405458$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$12x^{2}+25x-45=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 12 代入 a，將 25 代入 b，以及將 -45 代入 c。

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

對 25 平方。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 12\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

-4 乘上 12。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-48\left(-45\right)}}{2\times 12}$$

-48 乘上 -45。

$$x=\frac{-25±\sqrt{625+2160}}{2\times 12}$$

將 625 加到 2160。

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{2\times 12}$$

2 乘上 12。

$$x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}。 將 -25 加到 \sqrt{2785}。

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-25±\sqrt{2785}}{24}。 從 -25 減去 \sqrt{2785}。

$$x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$12x^{2}+25x-45=0$$

將 45 加到方程式的兩邊。

$$12x^{2}+25x-45-\left(-45\right)=-\left(-45\right)$$

從 -45 減去本身會剩下 0。

$$12x^{2}+25x=-\left(-45\right)$$

從 0 減去 -45。

$$12x^{2}+25x=45$$

將兩邊同時除以 12。

$$\frac{12x^{2}+25x}{12}=\frac{45}{12}$$

除以 12 可以取消乘以 12 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{45}{12}$$

透過找出與消去 3，對分式 \frac{45}{12} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x=\frac{15}{4}$$

將 \frac{25}{12} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{25}{24}。接著，將 \frac{25}{24} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

\frac{25}{24} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{15}{4}+\frac{625}{576}$$

將 \frac{15}{4} 與 \frac{625}{576} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}=\frac{2785}{576}$$

因數分解 x^{2}+\frac{25}{12}x+\frac{625}{576}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{2785}{576}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2785}{576}}$$

化簡。

$$x+\frac{25}{24}=\frac{\sqrt{2785}}{24} x+\frac{25}{24}=-\frac{\sqrt{2785}}{24}$$

從方程式兩邊減去 \frac{25}{24}。

$$x=\frac{\sqrt{2785}-25}{24} x=\frac{-\sqrt{2785}-25}{24}$$