解決12t^2+17t=40 |Microsoft數學求解器

$$12 { t }^{ 2 } +17t = 40$$

解 t

$$t = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$t = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 40。

$$12t^{2}+17t-40=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 12t^{2}+at+bt-40。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=17 ab=12\left(-40\right)=-480$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -480 的所有此類整數組合。

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

計算每個組合的總和。

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

該解的總和為 17。

$$a=-15 b=32$$

將 12t^{2}+17t-40 重寫為 \left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right)。

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right)$$

在第一個組因式分解是 3t，且第二個組是 8。

$$3t\left(4t-5\right)+8\left(4t-5\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 4t-5。

$$\left(4t-5\right)\left(3t+8\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 4t-5=0 並 3t+8=0。

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$12t^{2}+17t=40$$

從方程式兩邊減去 40。

$$12t^{2}+17t-40=40-40$$

從 40 減去本身會剩下 0。

$$12t^{2}+17t-40=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 12 代入 a，將 17 代入 b，以及將 -40 代入 c。

$$t=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

對 17 平方。

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

-4 乘上 12。

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

-48 乘上 -40。

$$t=\frac{-17±\sqrt{289+1920}}{2\times 12}$$

將 289 加到 1920。

$$t=\frac{-17±\sqrt{2209}}{2\times 12}$$

取 2209 的平方根。

$$t=\frac{-17±47}{2\times 12}$$

2 乘上 12。

$$t=\frac{-17±47}{24}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 t=\frac{-17±47}{24}。 將 -17 加到 47。

$$t=\frac{30}{24}$$

透過找出與消去 6，對分式 \frac{30}{24} 約分至最低項。

$$t=\frac{5}{4}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 t=\frac{-17±47}{24}。 從 -17 減去 47。

$$t=-\frac{64}{24}$$

透過找出與消去 8，對分式 \frac{-64}{24} 約分至最低項。

$$t=-\frac{8}{3}$$

現已成功解出方程式。

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$12t^{2}+17t=40$$

將兩邊同時除以 12。

$$\frac{12t^{2}+17t}{12}=\frac{40}{12}$$

除以 12 可以取消乘以 12 造成的效果。

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{40}{12}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{40}{12} 約分至最低項。

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{10}{3}$$

將 \frac{17}{12} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{17}{24}。接著，將 \frac{17}{24} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

\frac{17}{24} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{10}{3}+\frac{289}{576}$$

將 \frac{10}{3} 與 \frac{289}{576} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{2209}{576}$$

因數分解 t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{2209}{576}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{576}}$$

化簡。

$$t+\frac{17}{24}=\frac{47}{24} t+\frac{17}{24}=-\frac{47}{24}$$

從方程式兩邊減去 \frac{17}{24}。

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$