解決11y=3y^2-4 |Microsoft數學求解器

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

解 y

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 3y^{2}。

$$11y-3y^{2}=-4$$

新增 4 至兩側。

$$11y-3y^{2}+4=0$$

重新排列多項式，使其以標準式表示。由乘冪數最高的項目到乘冪數最低的項目依序排列。

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -3y^{2}+ay+by+4。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -12 的所有此類整數組合。

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

計算每個組合的總和。

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

該解的總和為 11。

$$a=12 b=-1$$

將 -3y^{2}+11y+4 重寫為 \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)。

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

因式分解 -3y^{2}+12y 中的 3y。

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

使用分配律來因式分解常用項 -y+4。

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 -y+4=0 並 3y+1=0。

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 3y^{2}。

$$11y-3y^{2}=-4$$

新增 4 至兩側。

$$11y-3y^{2}+4=0$$

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -3 代入 a，將 11 代入 b，以及將 4 代入 c。

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

對 11 平方。

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

-4 乘上 -3。

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

12 乘上 4。

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

將 121 加到 48。

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

取 169 的平方根。

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

2 乘上 -3。

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 y=\frac{-11±13}{-6}。 將 -11 加到 13。

$$y=\frac{2}{-6}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{-6} 約分至最低項。

$$y=-\frac{1}{3}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 y=\frac{-11±13}{-6}。 從 -11 減去 13。

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-24 除以 -6。

$$y=4$$

現已成功解出方程式。

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

配方法的步驟

從兩邊減去 3y^{2}。

$$11y-3y^{2}=-4$$

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-3y^{2}+11y=-4$$

將兩邊同時除以 -3。

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

除以 -3 可以取消乘以 -3 造成的效果。

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

11 除以 -3。

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-4 除以 -3。

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

將 -\frac{11}{3} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{11}{6}。接著，將 -\frac{11}{6} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

將 \frac{4}{3} 與 \frac{121}{36} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

因數分解 y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

化簡。

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

將 \frac{11}{6} 加到方程式的兩邊。

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$