解決11x^2-10x+13=0 |Microsoft數學求解器

$$11 x ^ { 2 } - 10 x + 13 = 0$$

解 x (復數求解)

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}\approx 0.454545455+0.987525499i$$

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}\approx 0.454545455-0.987525499i$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$11x^{2}-10x+13=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 11 代入 a，將 -10 代入 b，以及將 13 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

對 -10 平方。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11\times 13}}{2\times 11}$$

-4 乘上 11。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44\times 13}}{2\times 11}$$

-44 乘上 13。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-572}}{2\times 11}$$

將 100 加到 -572。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-472}}{2\times 11}$$

取 -472 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

-10 的相反數是 10。

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{2\times 11}$$

2 乘上 11。

$$x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}。 將 10 加到 2i\sqrt{118}。

$$x=\frac{10+2\sqrt{118}i}{22}$$

10+2i\sqrt{118} 除以 22。

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{10±2\sqrt{118}i}{22}。 從 10 減去 2i\sqrt{118}。

$$x=\frac{-2\sqrt{118}i+10}{22}$$

10-2i\sqrt{118} 除以 22。

$$x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$11x^{2}-10x+13=0$$

從方程式兩邊減去 13。

$$11x^{2}-10x+13-13=-13$$

從 13 減去本身會剩下 0。

$$11x^{2}-10x=-13$$

將兩邊同時除以 11。

$$\frac{11x^{2}-10x}{11}=-\frac{13}{11}$$

除以 11 可以取消乘以 11 造成的效果。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x=-\frac{13}{11}$$

將 -\frac{10}{11} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{5}{11}。接著，將 -\frac{5}{11} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{13}{11}+\left(-\frac{5}{11}\right)^{2}$$

-\frac{5}{11} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{13}{11}+\frac{25}{121}$$

將 -\frac{13}{11} 與 \frac{25}{121} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}=-\frac{118}{121}$$

因數分解 x^{2}-\frac{10}{11}x+\frac{25}{121}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}=-\frac{118}{121}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{11}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{118}{121}}$$

化簡。

$$x-\frac{5}{11}=\frac{\sqrt{118}i}{11} x-\frac{5}{11}=-\frac{\sqrt{118}i}{11}$$

將 \frac{5}{11} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{5+\sqrt{118}i}{11} x=\frac{-\sqrt{118}i+5}{11}$$