解決1000x^2-590x-561=0 |Microsoft數學求解器

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

解 x

$$x=-\frac{51}{100}=-0.51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1.1$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 1000x^{2}+ax+bx-561。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為負數，負數具有比正數更大的絕對值。 列出乘積為 -561000 的所有此類整數組合。

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

計算每個組合的總和。

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

該解為總和為 -590 的組合。

$$a=-1100 b=510$$

將 1000x^{2}-590x-561 重寫為 \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)。

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

對第一個與第二個群組中的 51 進行 100x 因式分解。

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 10x-11。

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 10x-11=0 和 100x+51=0。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 1000 代入 a，將 -590 代入 b，以及將 -561 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

對 -590 平方。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4 乘上 1000。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

-4000 乘上 -561。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

將 348100 加到 2244000。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

取 2592100 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

-590 的相反數是 590。

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

2 乘上 1000。

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{590±1610}{2000}。 將 590 加到 1610。

$$x=\frac{2200}{2000}$$

透過找出與消去 200，對分式 \frac{2200}{2000} 約分至最低項。

$$x=\frac{11}{10}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{590±1610}{2000}。 從 590 減去 1610。

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

透過找出與消去 20，對分式 \frac{-1020}{2000} 約分至最低項。

$$x=-\frac{51}{100}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

將 561 加到方程式的兩邊。

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

從 -561 減去本身會剩下 0。

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

從 0 減去 -561。

$$1000x^{2}-590x=561$$

將兩邊同時除以 1000。

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

除以 1000 可以取消乘以 1000 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{-590}{1000} 約分至最低項。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

將 -\frac{59}{100} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{59}{200}。接著，將 -\frac{59}{200} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

-\frac{59}{200} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

將 \frac{561}{1000} 與 \frac{3481}{40000} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

因數分解 x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

化簡。

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

將 \frac{59}{200} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$