解決10x^2+7x-12=0 |Microsoft數學求解器

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

解 x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 10x^{2}+ax+bx-12。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -120 的所有此類整數組合。

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

計算每個組合的總和。

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

該解的總和為 7。

$$a=-8 b=15$$

將 10x^{2}+7x-12 重寫為 \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)。

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

在第一個組因式分解是 2x，且第二個組是 3。

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 5x-4。

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 5x-4=0 並 2x+3=0。

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$10x^{2}+7x-12=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 10 代入 a，將 7 代入 b，以及將 -12 代入 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

對 7 平方。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-4 乘上 10。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

-40 乘上 -12。

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

將 49 加到 480。

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

取 529 的平方根。

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

2 乘上 10。

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-7±23}{20}。 將 -7 加到 23。

$$x=\frac{16}{20}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{16}{20} 約分至最低項。

$$x=\frac{4}{5}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-7±23}{20}。 從 -7 減去 23。

$$x=-\frac{30}{20}$$

透過找出與消去 10，對分式 \frac{-30}{20} 約分至最低項。

$$x=-\frac{3}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$10x^{2}+7x-12=0$$

將 12 加到方程式的兩邊。

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

從 -12 減去本身會剩下 0。

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

從 0 減去 -12。

$$10x^{2}+7x=12$$

將兩邊同時除以 10。

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

除以 10 可以取消乘以 10 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{12}{10} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

將 \frac{7}{10} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{7}{20}。接著，將 \frac{7}{20} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

\frac{7}{20} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

將 \frac{6}{5} 與 \frac{49}{400} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

因數分解 x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

化簡。

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

從方程式兩邊減去 \frac{7}{20}。

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$