解決10k^2+9k-1=0 |Microsoft數學求解器

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

解 k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

使用依分組因數分解的步驟

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 10k^{2}+ak+bk-1。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -10 的所有此類整數組合。

$$-1,10 -2,5$$

計算每個組合的總和。

$$-1+10=9 -2+5=3$$

該解的總和為 9。

$$a=-1 b=10$$

將 10k^{2}+9k-1 重寫為 \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)。

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

因式分解 10k^{2}-k 中的 k。

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

使用分配律來因式分解常用項 10k-1。

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 10k-1=0 並 k+1=0。

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$10k^{2}+9k-1=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 10 代入 a，將 9 代入 b，以及將 -1 代入 c。

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

對 9 平方。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 乘上 10。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 乘上 -1。

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

將 81 加到 40。

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

取 121 的平方根。

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2 乘上 10。

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 k=\frac{-9±11}{20}。 將 -9 加到 11。

$$k=\frac{2}{20}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{20} 約分至最低項。

$$k=\frac{1}{10}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 k=\frac{-9±11}{20}。 從 -9 減去 11。

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 除以 20。

$$k=-1$$

現已成功解出方程式。

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$10k^{2}+9k-1=0$$

將 1 加到方程式的兩邊。

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

從 -1 減去本身會剩下 0。

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

從 0 減去 -1。

$$10k^{2}+9k=1$$

將兩邊同時除以 10。

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

除以 10 可以取消乘以 10 造成的效果。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

將 \frac{9}{10} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{9}{20}。接著，將 \frac{9}{20} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

\frac{9}{20} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

將 \frac{1}{10} 與 \frac{81}{400} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

因數分解 k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

化簡。

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

從方程式兩邊減去 \frac{9}{20}。

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$