Solve 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

解 x

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 3x^{2}。

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

合併 10x^{2} 和 -3x^{2} 以取得 7x^{2}。

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

新增 10x 至兩側。

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

合併 10x 和 10x 以取得 20x。

$$7x^{2}+20x+8=11$$

從兩邊減去 11。

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

從 8 減去 11 會得到 -3。

$$7x^{2}+20x-3=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 7x^{2}+ax+bx-3。 若要尋找 a 和 b, 請設定要解決的系統。

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

因為 ab 為負數，a 和 b 具有相反的正負號。 因為 a+b 為正數，正數具有比負數更大的絕對值。 列出乘積為 -21 的所有此類整數組合。

$$-1,21 -3,7$$

計算每個組合的總和。

$$-1+21=20 -3+7=4$$

該解為總和為 20 的組合。

$$a=-1 b=21$$

將 7x^{2}+20x-3 重寫為 \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)。

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

對第一個與第二個群組中的 3 進行 x 因式分解。

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 7x-1。

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

若要尋找方程式解決方案, 請解決 7x-1=0 和 x+3=0。

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

使用二次方程式公式的步驟

從兩邊減去 3x^{2}。

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

合併 10x^{2} 和 -3x^{2} 以取得 7x^{2}。

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

新增 10x 至兩側。

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

合併 10x 和 10x 以取得 20x。

$$7x^{2}+20x+8=11$$

從兩邊減去 11。

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

從 8 減去 11 會得到 -3。

$$7x^{2}+20x-3=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 7 代入 a，將 20 代入 b，以及將 -3 代入 c。

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

對 20 平方。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

-4 乘上 7。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

-28 乘上 -3。

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

將 400 加到 84。

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

取 484 的平方根。

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

2 乘上 7。

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-20±22}{14}。 將 -20 加到 22。

$$x=\frac{2}{14}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{2}{14} 約分至最低項。

$$x=\frac{1}{7}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-20±22}{14}。 從 -20 減去 22。

$$x=-\frac{42}{14}$$

-42 除以 14。

$$x=-3$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

配方法的步驟

從兩邊減去 3x^{2}。

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

合併 10x^{2} 和 -3x^{2} 以取得 7x^{2}。

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

新增 10x 至兩側。

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

合併 10x 和 10x 以取得 20x。

$$7x^{2}+20x+8=11$$

從兩邊減去 8。

$$7x^{2}+20x=11-8$$

從 11 減去 8 會得到 3。

$$7x^{2}+20x=3$$

將兩邊同時除以 7。

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

除以 7 可以取消乘以 7 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

將 \frac{20}{7} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{10}{7}。接著，將 \frac{10}{7} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

\frac{10}{7} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

將 \frac{3}{7} 與 \frac{100}{49} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

因數分解 x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

化簡。

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

從方程式兩邊減去 \frac{10}{7}。

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$