Solve -5x^2+200x+30000=3200

$$-5 { x }^{ 2 } +200x+30000=3200$$

解 x

$$x=24\sqrt{10}+20\approx 95.894663844$$

$$x=20-24\sqrt{10}\approx -55.894663844$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

從方程式兩邊減去 3200。

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=3200-3200$$

從 3200 減去本身會剩下 0。

$$-5x^{2}+200x+30000-3200=0$$

從 30000 減去 3200。

$$-5x^{2}+200x+26800=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -5 代入 a，將 200 代入 b，以及將 26800 代入 c。

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

對 200 平方。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\left(-5\right)\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

-4 乘上 -5。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+20\times 26800}}{2\left(-5\right)}$$

20 乘上 26800。

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000+536000}}{2\left(-5\right)}$$

將 40000 加到 536000。

$$x=\frac{-200±\sqrt{576000}}{2\left(-5\right)}$$

取 576000 的平方根。

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{2\left(-5\right)}$$

2 乘上 -5。

$$x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}。 將 -200 加到 240\sqrt{10}。

$$x=\frac{240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200+240\sqrt{10} 除以 -10。

$$x=20-24\sqrt{10}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-200±240\sqrt{10}}{-10}。 從 -200 減去 240\sqrt{10}。

$$x=\frac{-240\sqrt{10}-200}{-10}$$

-200-240\sqrt{10} 除以 -10。

$$x=24\sqrt{10}+20$$

現已成功解出方程式。

$$x=20-24\sqrt{10} x=24\sqrt{10}+20$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-5x^{2}+200x+30000=3200$$

從方程式兩邊減去 30000。

$$-5x^{2}+200x+30000-30000=3200-30000$$

從 30000 減去本身會剩下 0。

$$-5x^{2}+200x=3200-30000$$

從 3200 減去 30000。

$$-5x^{2}+200x=-26800$$

將兩邊同時除以 -5。

$$\frac{-5x^{2}+200x}{-5}=-\frac{26800}{-5}$$

除以 -5 可以取消乘以 -5 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{200}{-5}x=-\frac{26800}{-5}$$

200 除以 -5。

$$x^{2}-40x=-\frac{26800}{-5}$$

-26800 除以 -5。

$$x^{2}-40x=5360$$

將 -40 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -20。接著，將 -20 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-40x+\left(-20\right)^{2}=5360+\left(-20\right)^{2}$$

對 -20 平方。

$$x^{2}-40x+400=5360+400$$

將 5360 加到 400。

$$x^{2}-40x+400=5760$$

因數分解 x^{2}-40x+400。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-20\right)^{2}=5760$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-20\right)^{2}}=\sqrt{5760}$$

化簡。

$$x-20=24\sqrt{10} x-20=-24\sqrt{10}$$

將 20 加到方程式的兩邊。

$$x=24\sqrt{10}+20 x=20-24\sqrt{10}$$