Solve -16x^2-4x+382=0

$$-16 { x }^{ 2 } -4x+382=0$$

解 x

$$x = \frac{\sqrt{1529} - 1}{8} \approx 4.762803699$$

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}\approx -5.012803699$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -16 代入 a，將 -4 代入 b，以及將 382 代入 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

對 -4 平方。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-16\right)\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

-4 乘上 -16。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+64\times 382}}{2\left(-16\right)}$$

64 乘上 382。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+24448}}{2\left(-16\right)}$$

將 16 加到 24448。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{24464}}{2\left(-16\right)}$$

取 24464 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

-4 的相反數是 4。

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{2\left(-16\right)}$$

2 乘上 -16。

$$x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}。 將 4 加到 4\sqrt{1529}。

$$x=\frac{4\sqrt{1529}+4}{-32}$$

4+4\sqrt{1529} 除以 -32。

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{4±4\sqrt{1529}}{-32}。 從 4 減去 4\sqrt{1529}。

$$x=\frac{4-4\sqrt{1529}}{-32}$$

4-4\sqrt{1529} 除以 -32。

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

現已成功解出方程式。

$$x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-16x^{2}-4x+382=0$$

從方程式兩邊減去 382。

$$-16x^{2}-4x+382-382=-382$$

從 382 減去本身會剩下 0。

$$-16x^{2}-4x=-382$$

將兩邊同時除以 -16。

$$\frac{-16x^{2}-4x}{-16}=-\frac{382}{-16}$$

除以 -16 可以取消乘以 -16 造成的效果。

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-16}\right)x=-\frac{382}{-16}$$

透過找出與消去 4，對分式 \frac{-4}{-16} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{382}{-16}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-382}{-16} 約分至最低項。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{191}{8}$$

將 \frac{1}{4} (x 項的係數) 除以 2 可得到 \frac{1}{8}。接著，將 \frac{1}{8} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{191}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

\frac{1}{8} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{191}{8}+\frac{1}{64}$$

將 \frac{191}{8} 與 \frac{1}{64} 相加的算法: 先通分，接著相加分子，然後將分式化為最簡分式。

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1529}{64}$$

因數分解 x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1529}{64}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1529}{64}}$$

化簡。

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{1529}}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{1529}}{8}$$

從方程式兩邊減去 \frac{1}{8}。

$$x=\frac{\sqrt{1529}-1}{8} x=\frac{-\sqrt{1529}-1}{8}$$