解決-2x^2+47x+5=275 |Microsoft數學求解器

$$- 2 x ^ { 2 } + 47 x + 5 = 275$$

解 x

$$x=10$$

$$x = \frac{27}{2} = 13\frac{1}{2} = 13.5$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 275。

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

從 5 減去 275 會得到 -270。

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -2x^{2}+ax+bx-270。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=47 ab=-2\left(-270\right)=540$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 540 的所有此類整數組合。

$$1,540 2,270 3,180 4,135 5,108 6,90 9,60 10,54 12,45 15,36 18,30 20,27$$

計算每個組合的總和。

$$1+540=541 2+270=272 3+180=183 4+135=139 5+108=113 6+90=96 9+60=69 10+54=64 12+45=57 15+36=51 18+30=48 20+27=47$$

該解的總和為 47。

$$a=27 b=20$$

將 -2x^{2}+47x-270 重寫為 \left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)。

$$\left(-2x^{2}+27x\right)+\left(20x-270\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 10。

$$-x\left(2x-27\right)+10\left(2x-27\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 2x-27。

$$\left(2x-27\right)\left(-x+10\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 2x-27=0 並 -x+10=0。

$$x=\frac{27}{2} x=10$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

從方程式兩邊減去 275。

$$-2x^{2}+47x+5-275=275-275$$

從 275 減去本身會剩下 0。

$$-2x^{2}+47x+5-275=0$$

從 5 減去 275。

$$-2x^{2}+47x-270=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -2 代入 a，將 47 代入 b，以及將 -270 代入 c。

$$x=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

對 47 平方。

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-4\left(-2\right)\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

-4 乘上 -2。

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209+8\left(-270\right)}}{2\left(-2\right)}$$

8 乘上 -270。

$$x=\frac{-47±\sqrt{2209-2160}}{2\left(-2\right)}$$

將 2209 加到 -2160。

$$x=\frac{-47±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

取 49 的平方根。

$$x=\frac{-47±7}{2\left(-2\right)}$$

2 乘上 -2。

$$x=\frac{-47±7}{-4}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-47±7}{-4}。 將 -47 加到 7。

$$x=-\frac{40}{-4}$$

-40 除以 -4。

$$x=10$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-47±7}{-4}。 從 -47 減去 7。

$$x=-\frac{54}{-4}$$

透過找出與消去 2，對分式 \frac{-54}{-4} 約分至最低項。

$$x=\frac{27}{2}$$

現已成功解出方程式。

$$x=10 x=\frac{27}{2}$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-2x^{2}+47x+5=275$$

從方程式兩邊減去 5。

$$-2x^{2}+47x+5-5=275-5$$

從 5 減去本身會剩下 0。

$$-2x^{2}+47x=275-5$$

從 275 減去 5。

$$-2x^{2}+47x=270$$

將兩邊同時除以 -2。

$$\frac{-2x^{2}+47x}{-2}=\frac{270}{-2}$$

除以 -2 可以取消乘以 -2 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{47}{-2}x=\frac{270}{-2}$$

47 除以 -2。

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=\frac{270}{-2}$$

270 除以 -2。

$$x^{2}-\frac{47}{2}x=-135$$

將 -\frac{47}{2} (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{47}{4}。接著，將 -\frac{47}{4} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}=-135+\left(-\frac{47}{4}\right)^{2}$$

-\frac{47}{4} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=-135+\frac{2209}{16}$$

將 -135 加到 \frac{2209}{16}。

$$x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}=\frac{49}{16}$$

因數分解 x^{2}-\frac{47}{2}x+\frac{2209}{16}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{47}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

化簡。

$$x-\frac{47}{4}=\frac{7}{4} x-\frac{47}{4}=-\frac{7}{4}$$

將 \frac{47}{4} 加到方程式的兩邊。

$$x=\frac{27}{2} x=10$$