解決-x^2+45x-200=124 |Microsoft數學求解器

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

解 x

$$x=9$$

$$x=36$$

使用依分組因數分解的步驟

從兩邊減去 124。

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

從 -200 減去 124 會得到 -324。

$$-x^{2}+45x-324=0$$

若要解出方程式，請對左邊進行分組因數分解。首先，左邊必須重寫為 -x^{2}+ax+bx-324。 若要取得 a 和 b，請預設求解的方程式。

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

因為 ab 是正數，a 和 b 具有相同的正負號。 因為 a+b 是正數，a 和 b 都是正數。 列出乘積為 324 的所有此類整數組合。

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

計算每個組合的總和。

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

該解的總和為 45。

$$a=36 b=9$$

將 -x^{2}+45x-324 重寫為 \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)。

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

在第一個組因式分解是 -x，且第二個組是 9。

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

使用分配律來因式分解常用項 x-36。

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

若要尋找方程式方案，請求解 x-36=0 並 -x+9=0。

$$x=36 x=9$$

使用二次方程式公式的步驟

所有這種 ax^{2}+bx+c=0 形式的方程式可以使用二次方程式公式: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 來求解。二次方程式公式提供兩個解，一個是在 ± 中使用加法，另一個是使用減法。

$$-x^{2}+45x-200=124$$

從方程式兩邊減去 124。

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

從 124 減去本身會剩下 0。

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

從 -200 減去 124。

$$-x^{2}+45x-324=0$$

此方程式是標準式: ax^{2}+bx+c=0。對二次方程式公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，將 -1 代入 a，將 45 代入 b，以及將 -324 代入 c。

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

對 45 平方。

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 乘上 -1。

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 乘上 -324。

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

將 2025 加到 -1296。

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

取 729 的平方根。

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

2 乘上 -1。

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

現在解出 ± 為正號時的方程式 x=\frac{-45±27}{-2}。 將 -45 加到 27。

$$x=-\frac{18}{-2}$$

-18 除以 -2。

$$x=9$$

現在解出 ± 為負號時的方程式 x=\frac{-45±27}{-2}。 從 -45 減去 27。

$$x=-\frac{72}{-2}$$

-72 除以 -2。

$$x=36$$

現已成功解出方程式。

$$x=9 x=36$$

配方法的步驟

與這個類似的二次方程式可透過配方法來求得解。為了配方，首先方程式必須為此形式 x^{2}+bx=c。

$$-x^{2}+45x-200=124$$

將 200 加到方程式的兩邊。

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

從 -200 減去本身會剩下 0。

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

從 124 減去 -200。

$$-x^{2}+45x=324$$

將兩邊同時除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

除以 -1 可以取消乘以 -1 造成的效果。

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

45 除以 -1。

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

324 除以 -1。

$$x^{2}-45x=-324$$

將 -45 (x 項的係數) 除以 2 可得到 -\frac{45}{2}。接著，將 -\frac{45}{2} 的平方加到方程式的兩邊。這個步驟可讓方程式的左邊成為完全平方。

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

-\frac{45}{2} 的平方是將分式的分子和分母兩個都平方。

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

將 -324 加到 \frac{2025}{4}。

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

因數分解 x^{2}-45x+\frac{2025}{4}。一般而言，當 x^{2}+bx+c 是完全平方時，一律可以因數分解為 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

取方程式兩邊的平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

化簡。

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

將 \frac{45}{2} 加到方程式的兩邊。

$$x=36 x=9$$